Le grandezze incommensurabili ed il loro rapporto

Due grandezze omogenee si dicono incommensurabili quando non ammettono una grandezza sottomultipla comune.

Un esempio di grandezze incommensurabili è dato dal lato e dalla diagonale di un quadrato.

 Siano AC e AB rispettivamente la diagonale e il lato di un quadrato. 

Vogliamo dimostrare che sono incommensurabili. 

Ragioniamo per assurdo e supponiamo che che AC e AB  siano segmenti commensurabili, ossia che ammettano una grandezza sottomultipla comune U,contenuta m volte in AC e n volte in AB. Ne consegue che n AC =m AB. Applicando il teorema di Pitagora al triangolo ABC , si perviene a n2= 2 m2. Si è giunti ad un assurdo perché n2 contiene 2 elevato ad esponente pari, mentre il secondo membro contiene 2 elevato ad esponente dispari. Tale assurdo consegue dall’aver supposto AC e AB commensurabili. Ne consegue che  la diagonale e il lato del quadrato sono segmenti incommensurabili.
Si può notare che la definizione di rapporto introdotta per le grandezze commensurabili non ha significato per le grandezze incommensurabili. Introduciamo una nuova definizione di rapporto che valga sia per le grandezze commensurabili sia per le grandezze incommensurabili.

Riprendiamo il caso precedente e confrontiamo diagonale e lato del quadrato:

si scopre che l<d<2l, cioè riportando l su d si nota che l è contenuto una sola volta con il resto di r.

 

Riportando 1/10 di l su r si nota che è contenuto 4 volte con resto s, per cui 

1,4 l<d<1,5 l

Ripetendo il procedimento non arriveremo mai ad un resto nullo: infatti se lo trovassimo, il rapporto sarebbe traducibile mediante un numero decimale finito e quindi la diagonale e il lato sarebbero  grandezze commensurabili. Nè può verificarsi che da un certo punto in poi le cifre si possano ripetere, perché in tal caso il rapporto sarebbe un numero decimale periodico, quindi ancora razionale.

In conclusione col procedimento indicato si viene a costruire un allineamento decimale, illimitato, non periodico.

 

Poiché l’unione dei numeri razionali positivi e dei numeri irrazionali positivi costituisce l’insieme dei numeri reali positivi,possiamo affermare che

Il rapporto di due grandezze omogenee è un numero reale (positivo); esso è un numero razionale nel caso di grandezze commensurabili, irrazionale nel caso di grandezze incommensurabili.

 

Misure di grandezze

Conviene talvolta determinare il rapporto di grandezze di una stessa classe rispetto ad una grandezza prefissata; in tal caso il 

rapporto prende il nome di misura rispetto alla grandezza assunta come unitaria.

E’ opportuno distinguere sempre una grandezza dalla sua misura: ad esempio per il  segmento AB  si denota la misura rispetto ad 

una prefissata unità e si scrive AB con un sovrassegno .

Si dimostrano le seguenti proprietà:

  1. La misura della grandezza somma A+B di A e di B è uguale alla somma α + β con α e β misure di A e B  
  2. Se A ≤ B allora α ≤ β e se A ≈ B allora α = β e viceversa (con α e β misure di A e B)
  3. Il rapporto di due grandezze omogenee è uguale al rapporto delle rispettive misure
  4. Data una grandezza U ed un numero positivo α esiste una ed una sola grandezza A ,omogenea con U, tale che il rapporto di a rispetto ad U sia uguale ad α