dove x,y,z sono numeri reali. Scopo di quanto segue è di dimostrare che ogni matrice magica, M, è della forma:
M = dove x,y,z sono numeri reali.
La dimostrazione qui proposta usa il seguente fatto: ogni matrice si scrive, in modo unico, come somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica.
Una matrice, S, è simmetrica se i suoi
elementi simmetrici rispetto alla diagonale principale sono uguali. La generica matrice
simmetrica è della forma S = 
(Vediamo così
che le matrici simmetriche dipendono da 6 parametri: a,b,c,d,e,f).
Una matrice A è antisimmetrica se gli
elementi sulla diagonale principale sono nulli e se quelli simmetrici rispetto alla
diagonale sono opposti. La generica matrice antisimmetrica è della forma A =
.(Le matrici antisimmetriche dipendono da 3 parametri: u,v,w).
Sia M = 
una matrice qualsiasi, se vogliamo scrivere M = S + A con S
simmetrica, A antisimmetrica, allora chiaramente a = x, b = n, c = t. Per gli altri
elementi dobbiamo avere, per esempio: d+u = y e d-u = m. Sommando le due equazioni: d =
(m+y)/2; invece sotraendo la seconda dalla prima u = (y-m)/2. Nello stesso modo e =
(z+r)/2, v=(z-r)/2 e finalmente f = (p+s)/2, w = (p-s)/2. Viceversa se M è somma di una
matrice simmetrica S' e di una matrice antisimmetrica A', è chiaro che deve essere S = S'
e A = A'. Questo dimostra che ogni matrice si scrive in modo unico come somma di una
matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica.
Sia M una matrice magica, di somma s, allora M, come ogni matrice, si scrive M = S + A dove S è simmetrica e dove A è antisimmetrica. Il fatto notevole è che anche S e A sono magiche.
Infatti, con le notazioni precedenti,verifichiamo che S è magica. Somma della prima riga: a+d+e = x + (m+y)/2 + (z+r)/2. Siccome M è magica: x+m+r = s, cioè (m+r)/2 = (s-x)/2 e x+y+z = s. Quindi a+d+e = (x+y+z)/2+(x+m+r)/2= s. Le altre verifiche si fanno nello stesso modo.
Per quanto riguarda A (se è magica la sua somma è 0:guardare la diagonale); somma della prima riga: u+v = (y-m)/2 + (z-r)/2. Ma, siccome M è magica: (y+z)/2 = (s-x)/2 = (m+r)/2. Quindi u+v=0. Le altre verifiche sono similari.
In conclusione: per determinare tutte le matrici magiche, basta determinare tutte le matrici magiche simmetriche e tutte le matrici magiche antisimmetriche. (Abbiamo spezzato il nostro problema in due problemi più semplici.)
Matrici magiche antisimmetriche.
E' il caso più facile. Con le notazioni precedenti se A antisimmetrica è magica, allora è magica di somma 0 e dobbiamo avere:
u+v = 0
-u+w = 0
v+w = 0
Si ricava facilmente: v = -u, w = u. Quindi A = 
= u
= u.A (dove
abbiamo posto A = ). In
particolare le matrici magiche antisimmetriche dipendono da 1 parametro.
Matrici magiche simmetriche di somma zero.
Per quanto riguarda le matrici magiche simmetriche inizieremo con un caso semplice: quello in cui la somma è zero. Con le notazioni precedenti dobbiamo avere:
(1) a+d+e=0
(2) d+b+f=0
(3) e+f+c=0
(4) a+b+c=0
(5) 2e+b=0
Da (5): e = -b/2 (*). Da (4): a = -b-c, inserendo in (1):
-c+d = -e+b = 3b/2 (**). Da (3): f = -e-c, inserendo in (2): d-c = e-b = -3b/2;
confrontando con (**), viene b = 0, e poi e=0, d=c=-a=-f. In conclusione S = a
= a.S (dove abbiamo posto
S = ). Quindi
anche le matrici magiche simmetriche di somma zero dipendono da un parametro.
Matrici magiche simmetriche.
Sia M una matrice magica simmetrica di somma s. La matrice N =(s/3)U (tutti i coefficienti uguali a s/3) è magica di somma s e simmetrica. Sia M' = M - N, si verifica facilmente che M' è magica, simmetrica e di somma 0. Per il punto precedente, M' è della forma a.S. Pertanto M = N + aS = (s/3)U + aS. In conclusione: ogni matrice magica simmetrica è della forma aS + bU (le matrici magiche simmetriche dipendono da due parametri).
Tutte le matrici magiche.
Mettendo tutto insieme, abbiamo: se M è magica, M si scrive (in modo unico) nella forma: M = xU + yS + zA; in altri termini, la generica matrice magica è della forma:
In particolare le matrici magiche dipendono da 3 parametri.
Osservazioni:
Per darsi una matrice magica casuale basta prendere x,y,z casuali e combinarli come sopra.
La somma è 3x, quindi il termine centrale è sempre (s/3).
Il termine centrale è la somma, divisa due, degli altri due termini sulla seconda diagonale (x = [(x+z)+(x-z)]/2); con questo accorgimento, il primo gioco diventa banale.
L'idea di questa dimostrazione viene dalla pratica dell'algebra lineare (l'insieme, M, delle matrici magiche è un sottospazio vettoriale di dimensione 3 dello spazio vettoriale, di dimensione 9, di tutte le matrici. C'è un piccolo miracolo: M è la somma diretta di Ma e Ms dove Ma (risp. Ms) è l'intersezione di M con il sottospazio delle matrici antisimmetriche (risp. simmetriche)). Una dimostrazione alternativa (meno elegante) si può fare con la teoria dei sistemi lineari.