ProbleMATEMATICAmente - Marzo 2000
Soluzione proposta da
Emanuele Spadaro
l.s. "G.Galilei" Catania
Per risolvere il problema consideriamo prima il caso particolare di inscrivere il quadrilatero di aria massima in una circonferenza, e dimostriamo che il quadrilatero cercato è un quadrato. L’area di un qualunque quadrilatero inscritto in una circonferenza è uguale al prodotto di una diagonale per la distanza delle rette parallele alla diagonale passanti per gli altri due vertici diviso due (vedi figura - l’area totale, infatti, si ottiene dalle somma delle aree dei due triangoli ABC e ACD). Per massimizzarla bisogna dunque rendere massimi i due fattori e cioè renderli dei diametri (le corde di lunghezza massima): essendo dunque le due diagonali due diametri perpendicolari il quadrilatero è un quadrato inscritto.
c.v.d.
Per passare dal caso particolare della circonferenza a quello generale dell’ellisse consideriamo una particolare classe di trasformazioni, le dilatazioni: consideriamo che ogni ellisse della forma x^2/a^2+y^2/b^2=1 (1) si ottiene infatti da una dilatazione di fattori a e b della circonferenza di raggio 1 e centro nell’origine, x^2+y^2=1 (2); ed inoltre consideriamo che se ad una figura F di area S applichiamo una dilatazione di fattori a e b la nuova figura trasformata Ft avrà area St=abS.
Per ottenere perciò il quadrilatero di area massima inscritto in una ellisse della forma (1) bisogna dilatare il quadrilatero di area massima inscritto nella circonferenza (2) che come abbiamo dimostrato è un quadrato.
Se vogliamo quindi conoscere le coordinate dei vertici dei quadrilateri massimo inscritto in una ellisse bisogna considerare i vertici dei quadrati iscritto in x^2+y^2=1 e dilatarli secondo i fattori a e b.
I vertici dei quadrati inscritti in (2) sono perciò A(cos z;sen z), B(cos(90°+z),sen (90°+z)), C(cos(180°+z);sen(180°+z)), D(cos(270°+z);sen(270°+z)), con z l’angolo compreso tra 0°e 90° che il raggio OA forma con l’asse delle ascisse (immaginiamo A sempre nel primo quadrante), e quindi i vertici dei quadrilateri cercati sono A’(a(cos z);b(sen z)), B(a(cos 90°+z);b(sen 90°+z)), C(a(cos 180°+z);b(sen 180°+z)), D(a(cos 270°+z);b(sen 270°+z)).